Случайная величина Х задана функцией распределения f(x)={0 при x≤0; x^2/2 при 0<х≤√2; 1 при х>√2 A. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение:
• меньше (-2);
• меньше 1;
• не меньше 1;
• не меньше 3;
• заключенное в интервале (1/2; 1/2).
b. Найти плотность распределения f(x).
c. Найти числовые характеристики величины Х.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

a.

Вероятность того, что X < -2:
P(X < -2) = 0, так как функция распределения равна 0 при x ≤ 0.

Вероятность того, что X < 1:
P(X < 1) = F(1) = 1/2, так как при 0 < x ≤ √2 функция распределения равна x^2/2.

Вероятность того, что X не меньше 1:
P(X ≥ 1) = 1 - P(X < 1) = 1 - 1/2 = 1/2.

Вероятность того, что X не меньше 3:
P(X ≥ 3) = 1, так как функция распределения равна 1 при x > √2.

Вероятность того, что X принимает значение в интервале (1/2; 1/2):
P(1/2 < X < 1) = F(1) - F(1/2) = 1/2 - (1/2)^2/2 = 3/8.

b.
Плотность распределения f(x) можно найти, взяв производную от функции распределения:
f(x) = dF(x)/dx
f(x) = x при 0 < x ≤ √2
f(x) = 0 при x ≤ 0
f(x) = 0 при x > √2

c.
Числовыми характеристиками случайной величины X являются:

Математическое ожидание (среднее значение):
E(X) = ∫xf(x)dx от 0 до √2
E(X) = ∫x^2dx от 0 до √2
E(X) = (√2)^3/3 = 2/3

Дисперсия:
D(X) = E(X^2) - (E(X))^2
D(X) = ∫x^2f(x)dx от 0 до √2 - (2/3)^2
D(X) = ∫x^3dx от 0 до √2 - 4/9
D(X) = (√2)^4/4 - 4/9
D(X) = 2 - 4/9
D(X) = 14/9