Высшая математика, студент Докажите, что площадь треугольника, вершинами которого являются вершины данного параллелограмма и середины его сторон, сходящихся в противоположной вершине, составляет 3/8 площади этого параллелограмма

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала обозначим вершины параллелограмма как A, B, C, D, а середины его сторон как E, F, G, H, причем точка E – середина стороны AB, точка F – середина стороны BC и т.д.

Площадь параллелограмма ABCD равна:

S1 = S{\triangle AEF} + S{\triangle BFG} + S{\triangle CGH} + S{\triangle DHE} + S{\triangle EBH} + S_{\triangle FCG}

Найдем площадь треугольника AEF:

S_{\triangle AEF} = \frac{1}{2} AE EF * sin(\angle AEF)

Так как AE = 1/2 AD = 1/2 DC = 1/2 DH = DH/2 = HG/2 = GE/2 = 1/2 AB, а EF = 1/2 * AB, то

S_{\triangle AEF} = \frac{1}{2} \frac{1}{2} AB \frac{1}{2} AB sin(\angle AEF) = \frac{1}{8} AB^2 * sin(\angle AEF)

Аналогично можно посчитать и площадь треугольников BFG, CGH, DHE, EBH, FCG.

Таким образом, S_1 = \frac{1}{8} (AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 + 2EB^2 + 2*FC^2)

Поскольку векторы AB = CD и BC = DA, то AB^2 + CD^2 = 2AB^2 и BC^2 + DA^2 = 2BC^2, а EB^2 = \frac{1}{2}AB^2 и FC^2 = \frac{1}{2}BC^2

Тогда S_1 = \frac{1}{8} (2AB^2 + 2BC^2 + 2EB^2 + 2FC^2) = \frac{1}{2} (AB^2 + BC^2 + 2EB^2 + 2FC^2)

С другой стороны, площадь треугольника AEH равна 1/4 площади параллелограмма ABCD, а площадь треугольников EFG и GHE равна 1/8 площади ABCD каждый.

Таким образом, S1 = S{\triangle AEH} + S{\triangle EFG} + S{\triangle GHE} = \frac{1}{4} + 2*\frac{1}{8} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

Таким образом, площадь треугольника, вершинами которого являются вершины данного параллелограмма и середины его сторон, сходящихся в противоположной вершине, составляет 1/2 площади этого параллелограмма.