Как доказать, что x + y <= 2x^2 + 2y^2? Заранее спасибо

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного неравенства, можно воспользоваться методом математической индукции.

База индукции:
При x = 0 и y = 0 неравенство принимает вид 0 ≤ 0, что верно.

Предположим, что неравенство верно для некоторых x и y.
Докажем, что оно верно и для x+1 и y+1.

По предположению:
x + y ≤ 2x^2 + 2y^2

Добавим к обеим сторонам неравенства по 2x и 2y:

x + y + 2x + 2y ≤ 2x^2 + 2y^2 + 2x + 2y

Упростим:

x + 2x + y + 2y ≤ 2x^2 + 2y^2 + 2x + 2y

3x + 3y ≤ 2x^2 + 2y^2 + 2x + 2y

Теперь умножим обе части неравенства на 2:

6x + 6y ≤ 4x^2 + 4y^2 + 4x + 4y

Упростим:

2(x + y) ≤ 2(x^2 + y^2 + x + y)

Получаем исходное неравенство, следовательно, оно верно для всех x и y.

Таким образом, мы доказали, что x + y <= 2x^2 + 2y^2.