Найти частные решения линейных дифференциальных уравнени Найти частные решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными
коэффициентами: у"-2у′-8у=0, если у=4 и у′=10 при х=0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение этого уравнения имеет вид у(х)=c1e^(4x)+c2e^(-2x), где c1 и c2 - произвольные постоянные.

Для нахождения частных решений данного уравнения мы можем использовать начальные условия у(0)=4 и у'(0)=10. Подставим эти значения в уравнение:

у(0)=c1e^0+c2e^0=c1+c2=4,
у'(0)=4c1(-2)e^(40)+-2c2e^(-20)=-8c1-2*c2=10.

Теперь решим систему уравнений для нахождения значений c1 и c2:

1) c1+c2=4,
2) -8c1-2c2=10.

Умножим первое уравнение на 2 и сложим его с вторым уравнением:

2c1+2c2-8c1-2c2=8+10,
-6*c1=-18,
c1=3.

Подставим полученное значение c1=3 в первое уравнение:

3+c2=4,
c2=1.

Таким образом, частное решение данного уравнения у(х)=3*e^(4x)+e^(-2x).