Решите задачу (геометрия) Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1, точка M — середина ребра BC. Найдите косинус угла AMA1, если боковое ребро CC1 равно 3, а сторона основания равна 3

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов в треугольнике AMA1.

Обозначим длину стороны треугольника ABC за a. Так как треугольник ABC — правильный, то его углы равны 60 градусам. Также, так как точка M — середина отрезка BC, то BM = CM = a/2.

Теперь найдем длину отрезка AM. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора в прямоугольном треугольнике ABM:
AM^2 = AB^2 - BM^2 = a^2 - (a/2)^2 = a^2 - a^2/4 = 3a^2/4.

Теперь найдем косинус угла AMA1, воспользовавшись теоремой косинусов в треугольнике AMA1:
cos(AMA1) = (AM^2 + MA1^2 - AA1^2) / 2 AM MA1.

Так как треугольник ABC прямоугольный, то AA1 = 2a/3.

Подставляем значения и находим:
cos(AMA1) = (3a^2/4 + (3/2)^2 - (2a/3)^2) / 2 3a/2 2a/3 = (3a^2/4 + 9/4 - 4a^2/9) / 3a = (27a^2 + 36 - 16a^2) / 12a = (11a^2 + 36) / 12a.

Таким образом, косинус угла AMA1 равен (11a^2 + 36) / 12a.