Найти высоту цилиндра. Правильная четырёхугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен 6. Площадь боковой поверхности призмы равна 48. Найдите высоту цилиндра.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения высоты цилиндра, воспользуемся данными о правильной четырёхугольной призме, которая описана около этого цилиндра.

Площадь боковой поверхности призмы. Формула для площади боковой поверхности правильной призмы:
[
S_{\text{бок.}} = P \cdot h,
]
где ( P ) — периметр основания призмы, а ( h ) — высота призмы (которая равна высоте цилиндра, так как призма описана около цилиндра).

Радиус основания цилиндра. Правильная четырёхугольная призма будет иметь основание в виде квадрата, который описан около цилиндра. Радиус описанной окружности квадрата равен радиусу цилиндра, т.е. ( R = 6 ).

Периметр квадрата. Периметр квадрата, который описан вокруг окружности радиусом ( R ), равен:
[
P = 4s,
]
где ( s ) — сторона квадрата. Сторону квадрата можно найти, используя связь радиуса окружности и стороны квадрата:
[
R = \frac{s \sqrt{2}}{2} \quad \Rightarrow \quad s = R \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = R\sqrt{2} = 6\sqrt{2}.
]
Теперь можно выразить периметр:
[
P = 4s = 4 \cdot 6\sqrt{2} = 24\sqrt{2}.
]

Составим уравнение для высоты. Используя формулу для площадей и подставив ( P ):
[
48 = 24\sqrt{2} \cdot h.
]
Разделим обе стороны на ( 24\sqrt{2} ):
[
h = \frac{48}{24\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}.
]

Таким образом, высота цилиндра равна ( h = \sqrt{2} ).

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на боковое ребро. Боковое ребро равно высоте цилиндра. В основании призмы лежит квадрат, его сторона равна диаметру вписанного круга. Поэтому

Поскольку по условию площадь боковой поверхности равна 48, искомая высота равна 1.