Задача по геометрии. Объясните подробно. Площадь трапеции ABCD равна 24, а длины оснований AD и ВС относятся как 3: 1. Вершины А и D соединены отрезками с точкой N серединой стороны ВС, а точки В и С - с точкой М - серединой стороны AD. Отрезки AN и ВМ пересекаются в точке Е, а отрезки DN и СМ в точке К. Найти площадь четырехугольника ENKM.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Решение:

Пусть AD = 3x, ВС = x (так как длины оснований относятся как 3:1).

Тогда площадь трапеции ABCD выражается формулой: S = (AD + ВС) h / 2 = (3x + x) h / 2 = 4x h / 2 = 2x h = 24.

Отсюда h = 12 / x.

Также заметим, что MN параллельно АD и BC (так как они являются серединными перпендикулярами к соответственным сторонам трапеции), и MN = 0.5 * (AD + ВС) = 2x.

Рассмотрим треугольники ANЕ и ВМЕ. По теореме Таллейрана (или теореме Таллея) мы знаем, что если два отрезка в треугольнике параллельны с его сторонами, то они делят его стороны пропорционально. Таким образом, мы можем записать пропорцию (AN / NE) = (AM / ME), и также (BE / EM) = (BN / NE), откуда несложно вывести, что AN / NE = BE / EM = 3 / 1.

Из этой пропорции получаем, что AN = 3/4 2x = 3/2 x и NE = 1/4 2x = 1/2 x. Аналогично, BE = 3/8 2x = 3/4 x и EM = 1/8 2x = 1/4 x.

Теперь можем вычислить площадь четырехугольника ENKM:

S(ENKM) = S(ANE) + S(BNE) + S(BEM) + S(MKE).
S(ANE) = 1/2 AN NE = 1/2 3/2 x 1/2 x = 3/4 x^2 / 2 = 3/8 x^2.
S(BNE) = 1/2 BN NE = 1/2 3/2 x 1/2 x = 3/4 x^2 / 2 = 3/8 x^2.
S(BEM) = 1/2 BE EM = 1/2 3/4 x 1/4 x = 3/16 x^2.
S(MKE) = 1/2 MK KE = 1/2 2x 1/2 x = 1/4 * x^2.

Суммируем все четыре площади:
S(ENKM) = 3/8 x^2 + 3/8 x^2 + 3/16 x^2 + 1/4 x^2 = 15/16 * x^2.

Таким образом, площадь четырехугольника ENKM равна 15/16 * x^2.