1. Каноническое уравнение гиперболы проходящей через точку М ( 8√5; 12) если межфокальное расстояние гиперболы равно 20.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы найти каноническое уравнение гиперболы, проходящей через точку М и имеющей межфокальное расстояние 20, нужно выполнить следующие шаги:

Найдем координаты фокусов F1 и F2. Так как межфокальное расстояние равно 20, то расстояние от центра гиперболы до фокуса равно половине межфокального расстояния, то есть 10.
Координаты центра гиперболы (0;0), так как гипербола проходит через начало координат.
Таким образом, координаты фокусов:
F1 (-10;0)
F2 (10;0)

Зная координаты фокусов и точки M, найдем эксцентриситет гиперболы:
ε = MF1/MF2 = sqrt((8√5+10)^2 + 12^2) / sqrt((8√5-10)^2 + 12^2) = sqrt(80 + 20 + 144) / sqrt(80 - 20 + 144) = 11 / 7 = 1.57

Эксцентриситет гиперболы больше единицы, значит, это будет гипербола с центром в начале координат и фокусами на оси X.

Теперь используем формулу для канонического уравнения гиперболы с центром в начале координат и фокусами на оси X:
(x^2) / a^2 - (y^2) / b^2 = 1

где a - расстояние от центра до вершины гиперболы, b - расстояние от центра до действительной части гиперболы.

Для нахождения a и b воспользуемся формулами:
a = √(b^2 + c^2)
b = √(a^2 - c^2)

где c - расстояние от центра до фокуса.

Подставим известные значения и найдем каноническое уравнение:
a = √(b^2 + 10^2) = √(b^2 + 100)
b = √(a^2 - 100) = √(b^2 + 100 - 100) = √(b^2) = b
b = √(b^2)

Таким образом, уравнение имеет вид:
(x^2) / (√(b^2 + 100))^2 - (y^2) / b^2 = 1
(x^2) / (b^2 + 100) - (y^2) / b^2 = 1

Подставим точку М:
(8√5)^2 / (b^2 + 100) - 12^2 / b^2 = 1
320 / (b^2 + 100) - 144 / b^2 = 1

Умножим обе части уравнения на (b^2 + 100) b^2:
320 b^2 - 144(b^2 + 100) = b^2(b^2 + 100)
320b^2 - 144b^2 - 14400 = b^4 + 100b^2
176b^2 - 14400 = b^4 + 100b^2
76b^2 - 14400 = b^4

Из этого уравнения можно найти значения b и, следовательно, определить искомое уравнение гиперболы.