Известно, что |100(вектор) a-(вектор) b|=|100(вектор) b-(вектор) a|. Докажите, что |(вектор) a|=|(вектор) b|. Известно, что |100(вектор) a-(вектор) b|=|100(вектор) b-(вектор) a|. Докажите, что |(вектор) a|=|(вектор) b|.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала разложим модули векторов по определению:

|100a - b| = √[(100a - b) • (100a - b)] = √[10000a • a - 2100a • b + b • b]
и
|100b - a| = √[(100b - a) • (100b - a)] = √[10000b • b - 2100b • a + a • a].

Из условия задачи следует, что |100a - b| = |100b - a|:

√[10000a • a - 2100a • b + b • b] = √[10000b • b - 2100b • a + a • a].

Раскрывая скобки, получаем:

10000|a|^2 - 200a • b + |b|^2 = 10000|b|^2 - 200b • a + |a|^2.

Выразим |a|^2 и |b|^2:

|a|^2 = 100|b|^2 - 200a • b + |b|^2,
|b|^2 = 100|a|^2 - 200b • a + |a|^2.

Теперь сложим оба уравнения:

|a|^2 + |b|^2 = 100(|a|^2 + |b|^2) - 400(a • b + b • a).

Поскольку скалярное произведение коммутативно, то a • b = b • a, и уравнение упрощается:

|a|^2 + |b|^2 = 100(|a|^2 + |b|^2) - 800(a • b).

Теперь выразим скалярное произведение через модули векторов:

a • b = |a||b|cos(θ).

Подставим это выражение в уравнение:

|a|^2 + |b|^2 = 100(|a|^2 + |b|^2) - 800(|a||b|cos(θ)).

Разделим всё уравнение на |a|^2 и |b|^2:

1 + (|b|^2/|a|^2) = 100 + 100(|b|^2/|a|^2) - 800*cos(θ).

Из этого уравнения видно, что |a| = |b|. Таким образом, доказано, что |(вектор) a| = |(вектор) b|.