При каких m уравнение (m - 3)x^2 - 6x + m + 5 = 0 имеет корни? Исследовать их знаки при различных m. При каких m уравнение (m - 3)x^2 - 6x + m + 5 = 0 имеет корни? Исследовать их знаки при различных m.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы уравнение имело корни, дискриминант должен быть больше или равен нулю:
D = (-6)^2 - 4(m-3)(m+5) ≥ 0
D = 36 - 4m^2 + 12m + 12m - 60 ≥ 0
D = -4m^2 + 24m - 24 ≥ 0
m^2 - 6m + 6 ≤ 0

Далее найдем корни уравнения m^2 - 6m + 6 = 0, которые равны:
m1 = 3 + sqrt(3)
m2 = 3 - sqrt(3)

Таким образом, уравнение имеет корни при m из интервала (3 - sqrt(3); 3 + sqrt(3)).
При этом, при m < 3 - sqrt(3) или m > 3 + sqrt(3) уравнение не имеет корней.

Исследуем знаки корней при различных значениях m:

При m < 3 - sqrt(3) у обоих корней m1 и m2 знак "+", так как оба корня больше 3 - sqrt(3).При 3 - sqrt(3) < m < 3 оба корня имеют разные знаки: m1 < 0, m2 > 0.При m = 3 корни равны: m1 = m2 = 3 и равны 0.При 3 < m < 3 + sqrt(3) оба корня имеют разные знаки: m1 > 0, m2 < 0.При m > 3 + sqrt(3) у обоих корней m1 и m2 знак "-", так как оба корня меньше 3 + sqrt(3).