Докажите тождество: sin^4a+cos^4a больше Или = 0,5

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного тождества воспользуемся формулой двойного угла для синуса и косинуса:

sin^2a = (1 - cos2a) / 2
cos^2a = (1 + cos2a) / 2

Подставим данные формулы в выражение sin^4a + cos^4a:

sin^4a + cos^4a = (sin^2a)^2 + (cos^2a)^2
(sin^2a)^2 + (cos^2a)^2 = ((1 - cos2a) / 2)^2 + ((1 + cos2a) / 2)^2
((1 - cos2a)^2 + (1 + cos2a)^2) / 4
((1 - 2cos2a + cos^2(2a)) + (1 + 2cos2a + cos^2(2a))) / 4
(2 + 2(cos^2(2a))) / 4
1 + cos^2(2a) / 2

Так как cos^2(2a) всегда меньше или равен 1, получаем: 1 + cos^2(2a) / 2 >= 0.5

Таким образом, мы доказали, что sin^4a + cos^4a >= 0.5.