Для вычисления производной функции Y=ln(sqrt(x-1)-sqrt(x+1)) в точке x0=sqrt(2) воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции.
Y = ln(sqrt(x-1) - sqrt(x+1))
Y' = (d/dx)ln(sqrt(x-1) - sqrt(x+1))
Преобразуем заданную функцию:
Y = ln(sqrt(x-1) - sqrt(x+1))Y = ln(sqrt(x-1) - sqrt(x+1))Y = ln((x-1)^(1/2) - (x+1)^(1/2))
Теперь дифференцируем:
Y' = (d/dx)ln( (x-1)^(1/2) - (x+1)^(1/2) )Y' = 1 / ((x-1)^(1/2) - (x+1)^(1/2)) ( ((x-1)^(1/2))' - ((x+1)^(1/2))' )Y' = 1 / (sqrt(x-1) - sqrt(x+1)) ( (1/2)(x-1)^(-1/2) - (1/2)(x+1)^(-1/2) )
Теперь подставим x=sqrt(2) в полученное выражение, чтобы найти значение производной в точке x0=sqrt(2):
Y'(sqrt(2)) = 1 / (sqrt(sqrt(2)-1) - sqrt(sqrt(2)+1)) ( (1/2)(sqrt(2)-1)^(-1/2) - (1/2)(sqrt(2)+1)^(-1/2) )Y'(sqrt(2)) = 1 / (sqrt(1) - sqrt(3)) ( (1/2)(sqrt(2)-1)^(-1/2) - (1/2)(sqrt(2)+1)^(-1/2) )Y'(sqrt(2)) = 1 / (1 - sqrt(3)) * ( (1/2)(sqrt(2)-1)^(-1/2) - (1/2)(sqrt(2)+1)^(-1/2) )
Таким образом, производная функции Y=ln(sqrt(x-1)-sqrt(x+1)) в точке x0=sqrt(2) равна Y'(sqrt(2)).
Для вычисления производной функции Y=ln(sqrt(x-1)-sqrt(x+1)) в точке x0=sqrt(2) воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции.
Y = ln(sqrt(x-1) - sqrt(x+1))
Y' = (d/dx)ln(sqrt(x-1) - sqrt(x+1))
Преобразуем заданную функцию:
Y = ln(sqrt(x-1) - sqrt(x+1))
Y = ln(sqrt(x-1) - sqrt(x+1))
Y = ln((x-1)^(1/2) - (x+1)^(1/2))
Теперь дифференцируем:
Y' = (d/dx)ln( (x-1)^(1/2) - (x+1)^(1/2) )
Y' = 1 / ((x-1)^(1/2) - (x+1)^(1/2)) ( ((x-1)^(1/2))' - ((x+1)^(1/2))' )
Y' = 1 / (sqrt(x-1) - sqrt(x+1)) ( (1/2)(x-1)^(-1/2) - (1/2)(x+1)^(-1/2) )
Теперь подставим x=sqrt(2) в полученное выражение, чтобы найти значение производной в точке x0=sqrt(2):
Y'(sqrt(2)) = 1 / (sqrt(sqrt(2)-1) - sqrt(sqrt(2)+1)) ( (1/2)(sqrt(2)-1)^(-1/2) - (1/2)(sqrt(2)+1)^(-1/2) )
Y'(sqrt(2)) = 1 / (sqrt(1) - sqrt(3)) ( (1/2)(sqrt(2)-1)^(-1/2) - (1/2)(sqrt(2)+1)^(-1/2) )
Y'(sqrt(2)) = 1 / (1 - sqrt(3)) * ( (1/2)(sqrt(2)-1)^(-1/2) - (1/2)(sqrt(2)+1)^(-1/2) )
Таким образом, производная функции Y=ln(sqrt(x-1)-sqrt(x+1)) в точке x0=sqrt(2) равна Y'(sqrt(2)).