Докажите, что медиана в треугольнике меньше полусуммы сторон, стягивающих угол, из которого она выходит. Докажите, что медиана в треугольнике меньше полусуммы сторон, стягивающих угол, из
которого она выходит.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть треугольник ABC имеет стороны a, b, c и медиану, выходящую из вершины A. Пусть медиана пересекает сторону BC в точке M.

Так как медиана делит сторону BC пополам, то BM=MC=0.5a.

По теореме косинусов в треугольнике ABC:
b^2 = a^2 + c^2 - 2ac*cos(B).

Из теоремы косинусов также следует, что косинус угла B равен отношению полусуммы сторон, стягивающих угол B, к диаметру, проведенному из вершины B противоположной стороне:
cos(B) = (a^2 + c^2 - b^2)/(2ac).

Подставим это значение в формулу для b^2 и получим:
b^2 = a^2 + c^2 - 2a(a^2 + c^2 - b^2)/(2ac),
b^2 = a^2 + c^2 - (a^2 + c^2 - b^2)/c,
b^2 = a^2 + c^2 - a^2/c - c^2/c + b^2/c,
b^2 = a^2 + c^2 - a/c - c + b^2/c,
b^2 - b^2/c = a^2 + c^2 - a/c - c,
b^2(1 - 1/c) = a^2 + c^2 - a/c - c,
b^2(c - 1)/c = a^2 + c^2 - a/c - c,
b^2(c - 1) = ac^2 + c^3 - a - c^2,
b^2c - b^2 = ac^2 + c^3 - a - c^2,
b^2c - b^2 - c^3 = ac^2 - a - c^2,
b^2(c - 1) - c^3 = ac^2 - a - c^2,
b^2(c - 1) - c^3 = a(c^2 - 1) - c^2,
b^2(c - 1) - c^3 = (c^2 - 1)(a - c),
b^2 = (c^2 - 1)(a - c)/(c - 1).

Таким образом, мы видим, что b^2 меньше чем (c^2 - 1)(a - c)/(c - 1).
Следовательно, b < sqrt((c^2 - 1)(a - c)/(c - 1)).

Таким образом, медиана из вершины А треугольника ABC меньше чем полусумма сторон, стягивающих угол А, то есть меньше чем (b + c)/2.