В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC боковые стороны равны 5, а ∠ A = 30°. Найдите AC.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC и боковыми сторонами AB = BC = 5, угол A = 30°. Мы можем воспользоваться свойствами треугольников и некоторыми тригонометрическими соотношениями для нахождения длины основания AC.

Обозначим основание AC как ( x ).

Проведем высоту из вершины B на основание AC, обозначим точку пересечения этой высоты с основанием как D. Поскольку треугольник равнобедренный, точка D делит основание AC пополам. Таким образом, ( AD = DC = \frac{x}{2} ).

У нас образуется прямоугольный треугольник ABD, где:

По теореме синусов в треугольнике ABD мы можем выразить высоту BD через угол A и сторону AB:
[
\sin A = \frac{h}{AB}
]
где ( h = BD ). В данном случае:
[
\sin 30^\circ = \frac{BD}{5} \implies \frac{1}{2} = \frac{BD}{5} \implies BD = \frac{5}{2} = 2.5.
]

Теперь можем найти длину AD, используя теорему Пифагора в треугольнике ABD:
[
AB^2 = AD^2 + BD^2.
]
Подставим известные значения:
[
5^2 = \left(\frac{x}{2}\right)^2 + \left(2.5\right)^2.
]
Это будет выглядеть так:
[
25 = \left(\frac{x}{2}\right)^2 + 6.25.
]
Упростим это:
[
25 - 6.25 = \left(\frac{x}{2}\right)^2 \implies 18.75 = \left(\frac{x}{2}\right)^2.
]

Извлечем квадратный корень:
[
\frac{x}{2} = \sqrt{18.75} \implies x = 2\sqrt{18.75} = 2 \cdot \frac{5\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}.
]

Таким образом, основание AC равно ( AC = 5\sqrt{3} ).