Задача на эрудицию Прямая y = 3x + 1 является касательной к графику функции ax^2 + 2x - 1. Найдите a

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Касательная к графику функции ax^2 + 2x - 1 в точке x = c имеет уравнение вида y = f'(c)(x - c) + f(c), где f(x) = ax^2 + 2x - 1.

Для прямой y = 3x + 1 в форме y = mx + b коэффициент наклона m равен 3.

Таким образом, мы имеем уравнение f'(c) = 3 и уравнение f(c) = 3c + 1.

Производная функции f(x) равна f'(x) = 2ax + 2.

Из условия f'(c) = 3 получаем 2ac + 2 = 3, откуда ac = 1/2.

Также из условия f(c) = 3c + 1 получаем ac^2 + 2c - 1 = 3c + 1, то есть ac^2 - c - 2 = 0.

Подставляем ac = 1/2 в это уравнение и получаем (1/2)c^2 - c - 2 = 0. Решая это квадратное уравнение, находим c = -2 или c = 1. Поскольку исходно было дано, что прямая касается графика, то у прямой и графика функции должна быть общая точка касания, то есть нужно выбирать значение c так, чтобы это удовлетворяло условию на касание.

Подставляем c = -2 в уравнение ac = 1/2 и получаем, что либо a = 1/4, либо a = -1/2.

Подставим a = 1/4 в уравнение ac^2 - c - 2 = 0 и видим, что оно не подходит.

Подставим a = -1/2 и получим (-1/2)(1/4) - 1/2 - 2 = 0, что верно.

Итак, a = -1/2.