В прямоугольном треугольнике ABC медиана CM равна 6 и делит прямой угол C в отношении 1 : 2. Найти площадь треугольника ABC. В ответе запишите √3∙S_ABC.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть BC = a, AC = b, AB = c.

Так как медиана CM делит прямой угол C в отношении 1 : 2, то угол C разбивает прямой угол на четыре равных угла. То есть угол C равен 45 градусам.

Так как угол C прямой, то треугольник ABC является равнобедренным, а значит AC = BC.

Из равнобедренности треугольника ABC имеем, что угол B равен 45 градусам.

Теперь можем применить теорему Пифагора для нахождения сторон треугольника ABC:

a² + b² = c²

Так как AC = BC = a, то получаем:

2a² = c²

Так как медиана CM равна 6, то по теореме о медиане в треугольнике:

4a² - 9 = b²

Из полученных уравнений можем найти стороны треугольника:

c² = 2a²

4a² - 9 = 2a²

2a² = 9

a² = 4.5

a = √4.5

b = √9.5

c = √9

Теперь найдем площадь треугольника ABC по формуле для равнобедренного треугольника: S = a²∙√(4b² - a²) / 4

S = 4.5∙√(4∙9.5 - 4.5) / 4

S = 4.5∙√(38 - 4.5) / 4

S = 4.5∙√33.5 / 4

S = √3∙√33.5

Ответ: √3∙S_ABC = √3∙√33.5