Задача по олимпиаде К числу А, состоящему из восьми ненулевых цифр, прибавили семизначное число, состоящее из одинаковых цифр, и получили восьмизначное число В. Оказалось, что число В может быть получено из числа А перестановкой некоторых цифр. На какую цифру может начинатся число А, если последняя цифра числа В равна 5?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть число А начинается с цифры x (где x ≠ 0, так как число А состоит из восьми ненулевых цифр). Тогда число A можно записать в виде x * 10^7 + a, где a - семизначное число начинается с x.

Так как прибавляется семизначное число, состоящее из одинаковых цифр, то прибавление будет иметь вид y * 1111111, где y - цифра, из которой состоит семизначное число.

Тогда число В можно записать в виде x 10^7 + a + y 1111111.

Если число В получено из числа А перестановкой цифр, то сумма всех цифр числа А должна быть равна сумме всех цифр числа В.

Сумма всех цифр числа В равна x + a + 7y + 1 (так как последняя цифра числа В равна 5).

Сумма всех цифр числа А равна x + a + 1111111 * y.

Из условия получаем: x + a + 7y + 1 = x + a + 1111111 * y.

Отсюда получаем, что 1111104 * y = 1, откуда y = 1 (так как y - цифра).

Таким образом, начальная цифра числа А может быть любая, если последняя цифра числа В равна 5.