Математический анализ. Sup и inf. M - непустое множество. f(x) и g(x) - ограниченные функции.
Доказать:
1) supx∈M(f(x) + g(x)) ≤ supx∈M f(x) + supx∈M g(x).
2) supx∈M(f(x) + g(x)) ≥ supx∈M f(x) + infx∈M g(x)
3) supx∈M(f(x) − g(x)) ≤ supx∈M f(x) − infx∈M g(x)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Докажем данные неравенства по отдельности:

1) Для любых двух чисел a и b справедливо, что max(a, b) ≤ a + b. Применим это неравенство к функциям f(x) и g(x) на множестве M:

supx∈M(f(x) + g(x)) = sup{f(x) + g(x) | x ∈ M} ≤ sup{f(x) | x ∈ M} + sup{g(x) | x ∈ M} = supx∈M f(x) + supx∈M g(x).

Таким образом, доказано первое неравенство.

2) Аналогично для любых двух чисел a и b справедливо, что max(a, b) ≥ a + b. Применим это неравенство к функциям f(x) и g(x) на множестве M:

supx∈M(f(x) + g(x)) = sup{f(x) + g(x) | x ∈ M} ≥ sup{f(x) | x ∈ M} + inf{g(x) | x ∈ M} = supx∈M f(x) + infx∈M g(x).

Таким образом, доказано второе неравенство.

3) Аналогично можно доказать третье неравенство, заменив операцию сложения на вычитание в первом шаге:

supx∈M(f(x) - g(x)) = sup{f(x) - g(x) | x ∈ M} ≤ sup{f(x) | x ∈ M} - inf{g(x) | x ∈ M} = supx∈M f(x) - infx∈M g(x).

Таким образом, все три неравенства доказаны.