Дан треугольник координатами своих вершин: A(1,8,2), B(5,2,6), C(5,7,4). Найти: а) площадьтреугольника; ... Дан треугольник координатами своих вершин: A(1,8,2), B(5,2,6), C(5,7,4). Найти: а) площадьтреугольника; б) внутренние углы; в) длину высоты BH и координаты вектора BH; г) вектор a, коллинеарный биссектрисе угла A; д) координаты центра тяжести треугольника. Выяснить, лежит ли точка M(4,10,4) в плоскости треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

a) Площадь треугольника можно найти с помощью формулы Герона:
S = √(p(p - AB)(p - BC)(p - CA)),
где p - полупериметр треугольника, AB, BC, CA - длины сторон треугольника.
AB = √((5-1)^2 + (2-8)^2 + (6-2)^2) = √((4)^2 + (-6)^2 + (4)^2) = √(16 + 36 + 16) = √68,
BC = √((5-5)^2 + (7-2)^2 + (4-6)^2) = √(0^2 + 5^2 + (-2)^2) = √(25 + 4) = √29,
CA = √((5-1)^2 + (7-8)^2 + (4-2)^2) = √(4^2 + (-1)^2 + 2^2) = √(16 + 1 + 4) = √21.

Таким образом, AB = √68, BC = √29, CA = √21.

p = (AB + BC + CA) / 2 = (√68 + √29 + √21) / 2 ≈ 6,75.

S = √(6,75(6,75 - √68)(6,75 - √29)(6,75 - √21)) ≈ √(6,75(0,75)(7,75)(3,75)) ≈ 10,76.

Ответ: площадь треугольника ≈ 10,76.

б) Для нахождения внутренних углов треугольника можно воспользоваться косинусной теоремой и формулами для нахождения углов между векторами.

в) Длину высоты BH можно найти, например, используя формулу для расстояния от точки до прямой. Для нахождения координат вектора BH нужно вычесть координаты точки B из координаты точки H.

г) Для нахождения вектора a, коллинеарного биссектрисе угла A, можно воспользоваться формулой для нахождения точки пересечения двух прямых.

д) Координаты центра тяжести треугольника можно найти как среднее арифметическое координат вершин треугольника.

Если точка M(4,10,4) лежит в плоскости треугольника, то ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости, проходящей через вершины треугольника. Для проверки этого условия можно подставить координаты точки M в уравнение плоскости и проверить равенство.