X^4+x^3+x^2+x+1=0 Докажите, что уравнение не имеет рациональных корней X^4+x^3+x^2+x+1=0
Докажите, что уравнение не имеет рациональных корней

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Предположим, что уравнение имеет рациональный корень в виде дроби p/q, где p и q - целые числа, не имеющие общих множителей (кроме 1 и -1).

Тогда подставим p/q в уравнение и умножим все на q^4, чтобы избавиться от знаменателя:

(p/q)^4 + (p/q)^3 + (p/q)^2 + p/q + 1 = 0

Очевидно, что при такой подстановке в уравнении все коэффициенты будут целыми числами. Заметим, что в результате умножения мы получим уравнение с целыми коэффициентами:

p^4 + p^3q + p^2q^2 + pq^3 + q^4 = 0

Это означает, что q делит левую сторону уравнения, а значит q также делит правую сторону, то есть q делит p^4. Но так как p и q не имеют общих множителей, это возможно только в случае q = ±1.

Таким образом, мы получаем, что p/q = p/±1 = ±p. Подставим это обратно в уравнение:

(p/±1)^4 + (p/±1)^3 + (p/±1)^2 + p/±1 + 1 = 0

p^4 ± p^3 + p^2 ± p + 1 = 0

Снова очевидно, что сумма целых чисел не может равняться нулю при данном уравнении, так как оно приведено в канонической форме. Следовательно, уравнение не имеет рациональных корней.