Дана неплоская замкнутая ломаная ABCDA докажите что середины отрезков AB BC CD DA лежат в одной плоскости Дана неплоская замкнутая ломаная ABCDA докажите что середины отрезков AB BC CD DA лежат в одной плоскости

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку ломаная ABCDA замкнута и неплоская, то она лежит в трехмерном пространстве.

Обозначим середины отрезков AB, BC, CD, DA как M, N, P, Q соответственно.

Поскольку M - середина отрезка AB, то AM = MB. Аналогично для других отрезков: BN = NC, CP = PD, DQ = QA.

Таким образом, отрезки AM, MB, BN, NC, CP, PD, DQ, QA равны.

Теперь рассмотрим треугольники AMN, BNC, CPD, DQA. В каждом из них две стороны равны, значит, эти треугольники равнобедренные.

Теперь можно провести плоскость, проходящую через все четыре точки M, N, P, Q, так как мы можем провести такую плоскость через любые три неколлинеарные точки в трехмерном пространстве.

Таким образом, середины отрезков AB, BC, CD, DA лежат в одной плоскости.