Задача по математике Переріз тунелю має форму прямокутника з насадженим півкругом. Периметр перерізу 18 м. За якого радіуса півкруга площа перерізу буде найбільшою ?
Позначимо сторони прямокутника як х та у, а радіус півкруга як r.
За умовою задачі маємо: 2x + πr = 18, у = r + x, x = 9 - πr/2.
Необхідно знайти максимум функції площі прерізу, яка обчислюється за формулою: S = r*u + (πr^2)/2.
Підставляємо знайдене вираз x у вираз для площі: S = r(r + 9 - πr/2) + (πr^2)/2 = r^2 + 9r - πr^2/2 + πr^2/2 = r^2 + 9r.
Будемо шукати критичні точки функції S. Для цього знайдемо похідну та прирівняємо до нуля: S' = 2r + 9 = 0, r = -9/2.
Отже, єдиний кандидат на максимум площі - це коло з радіусом 9/2, або 4.5 м.
Перевіримо це, підставивши r = 4.5 у попередньо отримані формули: x = 9 - π4.5/2 = 9 - 7.07 ≈ 1.93 м, y = 4.5 + 1.93 ≈ 6.43 м, S = 4.56.43 + π*(4.5)^2/2 ≈ 28.74 м^2.
Тому, при радіусі 4.5 м площа перерізу буде найбільшою.
Позначимо сторони прямокутника як х та у, а радіус півкруга як r.
За умовою задачі маємо:
2x + πr = 18,
у = r + x,
x = 9 - πr/2.
Необхідно знайти максимум функції площі прерізу, яка обчислюється за формулою:
S = r*u + (πr^2)/2.
Підставляємо знайдене вираз x у вираз для площі:
S = r(r + 9 - πr/2) + (πr^2)/2 = r^2 + 9r - πr^2/2 + πr^2/2 = r^2 + 9r.
Будемо шукати критичні точки функції S. Для цього знайдемо похідну та прирівняємо до нуля:
S' = 2r + 9 = 0,
r = -9/2.
Отже, єдиний кандидат на максимум площі - це коло з радіусом 9/2, або 4.5 м.
Перевіримо це, підставивши r = 4.5 у попередньо отримані формули:
x = 9 - π4.5/2 = 9 - 7.07 ≈ 1.93 м,
y = 4.5 + 1.93 ≈ 6.43 м,
S = 4.56.43 + π*(4.5)^2/2 ≈ 28.74 м^2.
Тому, при радіусі 4.5 м площа перерізу буде найбільшою.