Задача по математике Переріз тунелю має форму прямокутника з насадженим півкругом.
Периметр перерізу 18 м. За якого радіуса півкруга площа перерізу буде
найбільшою ?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Позначимо сторони прямокутника як х та у, а радіус півкруга як r.

За умовою задачі маємо:
2x + πr = 18,
у = r + x,
x = 9 - πr/2.

Необхідно знайти максимум функції площі прерізу, яка обчислюється за формулою:
S = r*u + (πr^2)/2.

Підставляємо знайдене вираз x у вираз для площі:
S = r(r + 9 - πr/2) + (πr^2)/2 = r^2 + 9r - πr^2/2 + πr^2/2 = r^2 + 9r.

Будемо шукати критичні точки функції S. Для цього знайдемо похідну та прирівняємо до нуля:
S' = 2r + 9 = 0,
r = -9/2.

Отже, єдиний кандидат на максимум площі - це коло з радіусом 9/2, або 4.5 м.

Перевіримо це, підставивши r = 4.5 у попередньо отримані формули:
x = 9 - π4.5/2 = 9 - 7.07 ≈ 1.93 м,
y = 4.5 + 1.93 ≈ 6.43 м,
S = 4.56.43 + π*(4.5)^2/2 ≈ 28.74 м^2.

Тому, при радіусі 4.5 м площа перерізу буде найбільшою.