Задача по математике Переріз тунелю має форму прямокутника з насадженим півкругом.
Периметр перерізу 18 м. За якого радіуса півкруга площа перерізу буде
найбільшою ?

27 Окт 2020 в 19:44
238 +1
0
Ответы
1

Позначимо сторони прямокутника як х та у, а радіус півкруга як r.

За умовою задачі маємо:
2x + πr = 18,
у = r + x,
x = 9 - πr/2.

Необхідно знайти максимум функції площі прерізу, яка обчислюється за формулою:
S = r*u + (πr^2)/2.

Підставляємо знайдене вираз x у вираз для площі:
S = r(r + 9 - πr/2) + (πr^2)/2 = r^2 + 9r - πr^2/2 + πr^2/2 = r^2 + 9r.

Будемо шукати критичні точки функції S. Для цього знайдемо похідну та прирівняємо до нуля:
S' = 2r + 9 = 0,
r = -9/2.

Отже, єдиний кандидат на максимум площі - це коло з радіусом 9/2, або 4.5 м.

Перевіримо це, підставивши r = 4.5 у попередньо отримані формули:
x = 9 - π4.5/2 = 9 - 7.07 ≈ 1.93 м,
y = 4.5 + 1.93 ≈ 6.43 м,
S = 4.56.43 + π*(4.5)^2/2 ≈ 28.74 м^2.

Тому, при радіусі 4.5 м площа перерізу буде найбільшою.

17 Апр в 22:32
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Бесплатные доработки
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы
Проверка работы на плагиат
Интересные статьи из справочника
Поможем написать учебную работу
Название заказа не должно быть пустым
Введите email
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку 84 848 авторам
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут
Прямой эфир