При каком значении α векторы АВ и СВ перпендикулярны, если А (2; α; 3), В (–1; 4; 2), С (5; –1; 3). При каком значении α векторы АВ и СВ перпендикулярны, если
А (2; α; 3), В (–1; 4; 2), С (5; –1; 3).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы векторы ( \overrightarrow{AB} ) и ( \overrightarrow{BC} ) были перпендикулярными, их скалярное произведение должно быть равно нулю:

[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 ]

Найдем векторы ( \overrightarrow{AB} ) и ( \overrightarrow{BC} ):

[ \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} -1 - 2 \ 4 - \alpha \ 2 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \ 4 - \alpha \ -1 \end{pmatrix} ]
[ \overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} 5 - (-1) \ -1 - 4 \ 3 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \ -5 \ 1 \end{pmatrix} ]

Теперь вычислим скалярное произведение этих векторов:

[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = (-3) \cdot 6 + (4 - \alpha) \cdot (-5) + (-1) \cdot 1 = -18 - 20 + 5 = -33 - 20 = -53 ]

Для того чтобы векторы ( \overrightarrow{AB} ) и ( \overrightarrow{BC} ) были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы это скалярное произведение было равно нулю:

[ -53 = 0 ]
[ -53 = 0 ]

Это уравнение не имеет решений, следовательно, такое значение ( \alpha ) не существует, при котором векторы ( \overrightarrow{AB} ) и ( \overrightarrow{BC} ) будут перпендикулярными.