Решить тригонометрическое неравенство Син и кос Arcsin(x-3)+arccos(x-3) больше одной трети

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем область допустимых значений переменной x.

Так как -1 ≤ sin(t) ≤ 1 и 0 ≤ arccos(t) ≤ π, то диапазон значений arcсos(t) + arcsin(t) равен [0, π].

Теперь найдем все значения x, для которых значение arccos(x-3) + arcsin(x-3) > π/3.

Для этого рассмотрим функцию f(x) = arccos(x-3) + arcsin(x-3) - π/3.

f'(x) = -1/√(1 - (x-3)²) + 1/√(1 - (x-3)²)

Приравняем производную к нулю и найдем x:

-1/√(1 - (x-3)²) + 1/√(1 - (x-3)²) = 0

0 = 0 (это уравнение верно для любого x)

Значит, на разрывах производной f(x) может достигаться максимум и минимум.

Разрывы производной происходят в точках, где знаменатель равен нулю:

1 - (x-3)² = 0

x = 3

Подставим найденные точки в исходное неравенство и проверим их:

При x < 3:

arccos(x-3) + arcsin(x-3) = arccos(x-3) + arccos(3-x) = arccos(-1) + acos(-1) = π

При x > 3:

arccos(x-3) + arcsin(x-3) = arccos(x-3) + arcsin(x-3) = π - arcsin(x-3) + arcsin(x-3) = π

Значит, данное неравенство выполняется для всех значений x, и его решение - любое x.

x ∈ R