Задача на доказательство Доказать, что существует натуральное число, все цифры которого пятерки. Еще есть условие что это число должно делится на 2005.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте предположим, что такое число существует. Пусть оно состоит из n пятерок и записано как 555...55 (n пятерок).

Мы знаем, что число делится на 2005 если делится на 5 и на 401. Поскольку число состоит из пятерок, оно уже делится на 5. Остается проверить делится ли оно на 401.

Для этого воспользуемся критерием делимости на 401: число делится на 401 тогда и только тогда, когда разность суммы цифр на четных позициях и суммы цифр на нечетных позициях кратна 401.

Сумма цифр числа состоящего из n пятерок равна 5*n. Разность суммы цифр на четных и нечетных позициях равна 0.

Таким образом, для любого натурального числа n, состоящего из пятерок, число 555...55 (n пятерок) делится на 2005.

Следовательно, такое число существует.