Найдите сумму целых решений неравенства (х^2+11)^2-12х (х^2+11)≤0 (меньше или равно нуля)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала преобразуем данное неравенство:

(x^2 + 11)(x^2 + 11 - 12x) ≤ 0
(x^2 + 11)(x^2 - 12x + 11) ≤ 0

Теперь решим квадратные уравнения в скобках:

1) x^2 + 11 = 0
x^2 = -11
Корни уравнения отсутствуют, так как нет действительных чисел, квадрат которых был бы равен отрицательному числу.

2) x^2 - 12x + 11 = 0
D = (-12)^2 - 4111 = 144 - 44 = 100
x1,2 = (12 ± 10)/2 = 11, 1

Теперь проведем исследование знака:

x < 1: (x^2 + 11) > 0, (x^2 - 12x + 11) > 0 -> произведение > 0
1 < x < 11: (x^2 + 11) > 0, (x^2 - 12x + 11) < 0 -> произведение < 0
x > 11: (x^2 + 11) > 0, (x^2 - 12x + 11) > 0 -> произведение > 0

Таким образом, решения неравенства x лежат в интервалах (1; 11). Сумма целых решений равна 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 54.