Найти локальный и глобальный экстремум функции f(x)=|x−1|·|x+2|,x∈[−3,3].

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы найти локальные и глобальные экстремумы функции f(x)=|x−1|·|x+2| на интервале [-3,3], нужно первым делом найти производные функции и решить уравнения f'(x)=0 для поиска локальных экстремумов.

Сначала найдем производную функции f(x):
f(x)=|x−1|·|x+2|
f'(x) = sign(x-1) sign(x+2) + sign(x+2) sign(x-1)
= (1 + sign(x-1) - sign(x+2) - 1) sign(x-1) sign(x+2)
= 0

Теперь рассмотрим интервалы между нулями производной на отрезке [-3,3]: (-3, -2), (-2, 1), (1, 3).

Для интервала (-3, -2):
f'(-3) = 1
f'(-2) = -1
Так как f'(-3) > 0, а f'(-2) < 0, то на этом интервале есть локальный максимум.

Для интервала (-2, 1):
f'(-2) = -1
f'(1) = 1
Так как f(-2) < 0, а f(1) > 0, то на этом интервале есть локальный минимум.

Для интервала (1, 3):
f'(1) = 1
f'(3) = 1
Так как f(1) > 0, а f(3) > 0, то на этом интервале нет локальных экстремумов.

Теперь найдем значения функции f(x) в найденных точках и на концах отрезка [-3,3] для поиска глобальных экстремумов:

f(-3) = 4
f(-2) = 0
f(1) = 3
f(3) = 10

Таким образом, локальный максимум равен 4 и достигается в точке x=-3, локальный минимум равен 0 и достигается в точке x=-2, а глобальный максимум равен 10 и достигается в точке x=3.