В окружность радиуса R вписан правильный n-угольник. В окружность радиуса R вписан правильный n-угольник. Точка M движется по окружности,
и для каждого её положения рассматривается сумма расстояний от M до прямых, содержащих
стороны n-угольника. Для каких положений точки M результат окажется минимальным?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Результат будет минимальным, когда точка M будет совпадать с центром окружности, в которую вписан правильный n-угольник.

Пояснение: Пусть O - центр окружности, а A1, A2,..., An - вершины правильного n-угольника, вписанного в эту окружность. Так как n-угольник правильный, то все его стороны равны и противоположные стороны параллельны. Рассмотрим произвольную точку M на окружности. Сумма расстояний от точки M до сторон n-угольника равна сумме расстояний от точки M до точек A1, A2,..., An. Подсчитаем эту сумму для различных положений точки M и убедимся, что минимальное значение достигается при M = O.

Пусть M = O, тогда расстояние от O до каждой из точек A1, A2,..., An равно радиусу окружности R. Сумма расстояний будет равна nR.

Для любой другой точки M сумма расстояний от M до каждой из сторон n-угольника будет больше, чем nR, так как в каждом случае будет прибавляться расстояние от M до стороны n-угольника, которое больше, чем R.

Таким образом, результат окажется минимальным, когда точка M совпадает с центром окружности.