Докажите неравенство: 1-(1-a)(1-b)(1-c)>c

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала раскроем скобки в левой части неравенства:

1 - (1-a)(1-b)(1-c) = 1 - (1 - a - b + ab)(1 - c)
= 1 - (1 - a - b + ab - c + ac + bc - abc)
= 1 - 1 + a + b - ab - c + ac + bc - abc
= a + b - ab - c + ac + bc - abc

Теперь докажем, что a + b - ab - c + ac + bc - abc > c:

a + b - ab - c + ac + bc - abc > c
a + b + ac + bc > ab + c + abc
(a + c)(b + c) > c(a + b + 1)

Так как a, b, c > 0, то выражения a + c, b + c и a + b + 1 также будут больше нуля. Поэтому мы можем поделить обе стороны на их произведение:

(a + c)(b + c) / (a + b + 1) > c

Таким образом, нам нужно доказать, что (a + c)(b + c) / (a + b + 1) > c.

Теперь приведем доказательство этого неравенства.

Для начала рассмотрим числитель:

(a + c)(b + c) = ab + ac + bc + c^2

Теперь поделим числитель на (a + b + 1):

(ab + ac + bc + c^2) / (a + b + 1) = c^2 - c + ab + ac + bc

Таким образом, мы доказали, что (a + c)(b + c) / (a + b + 1) = c^2 - c + ab + ac + bc > c

Следовательно, неравенство 1 - (1-a)(1-b)(1-c) > c верно.