В единичном кубе ABCDA1B1C1D1, с основанием ABCD и боковыми ребрами АА1,BB1,CC1,DD1 на ребре ВВ1 выбрана точка Е так что В1E = 2BE. Найдите расстояние от вершины D до плоскости А1С1BE

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть сторона куба равняется единице, тогда координаты точек имеют вид:

A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(1, 1, 0), D(0, 1, 0), A1(0, 0, 1), B1(1, 0, 1), C1(1, 1, 1), D1(0, 1, 1).

Найдем координаты точки E. Поскольку В1Е = 2BE, то Е находится на прямой ВВ1, причем В1Е = 2/3 (т.к. В1Е = 2/3 и ВЕ = 1/3) от В до В1. То есть координаты точки E равны (1, 0, 2/3).

Найдем нормаль к плоскости А1С1В1Е. Вектор, параллельный этой плоскости, равен V1A1 x V1C1, где x обозначает векторное произведение. Применив правило правой руки, находим, что этот вектор равен (1, 1, -1). Теперь найдем уравнение плоскости, проходящей через точку (1, 0, 2/3) и перпендикулярной вектору (1, 1, -1):

1(x - 1) + 1y - 1*(z - 2/3) = 0
x + y - z + 2/3 = 0
x + y - z = -2/3.

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точки А1, С1, B1 и E:
x + y - z = -2/3.

Теперь найдем расстояние от вершины D до этой плоскости. Для этого подставим координаты точки D(0, 1, 0) в уравнение плоскости:

0 + 1 - 0 = -2/3
1 = -2/3
3 = -2,

что является противоречием, значит, точка D не принадлежит плоскости. Расстояние от вершины D до плоскости равно расстоянию от точки D до прямой, проведенной перпендикулярно этой плоскости через точку D. Так как эта прямая проходит через вершины В1 и D, а ее направляющий вектор равен (0, -1, 1), то координаты точки пересечения прямой и плоскости равны (1, -1/3, -2/3).

Теперь вычислим расстояние между точкой D и точкой пересечения:

√((1-0)² + (-1/3-1)² + (-2/3-0)²) = √(1 + 16/9 + 4/9) = √(25/9) = 5/3.

Итак, расстояние от вершины D до плоскости A1С1BE равно 5/3.