Натуральные a, b, c и d выбрали так, что числа 2a + b и 2c + d делятся на 1543. Натуральные a, b, c и d выбрали так, что числа 2a + b и 2c + d делятся на 1543. Докажите,
что тогда и ad − bc делится на 1543.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

По условию задачи знаем, что 2a + b и 2c + d делятся на 1543. То есть существуют целые числа k и m, такие что:

2a + b = 1543k
2c + d = 1543m

Умножим первое уравнение на d, второе на b и вычтем одно из другого:

2ad + bd - 2bc - bd = 1543kd - 1543bm

2(ad - bc) = 1543(kd - bm)

Из данного уравнения видно, что 2(ad - bc) делится на 1543, следовательно ad - bc также делится на 1543. Доказательство завершено.