Решите зпдачу по геометрии Из точки A проведены касательная к некоторой окружности и секущая. B - точка касания, C и D - точки пересечения секущей и окружности, причём C лежит между A и D. Известно, что AB:AC=3:2, а площадь ABC=20. Найдите площадь треугольника BCD.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим радиус окружности через R, BC через a, и CD через b.

Так как AB и AC - касательные, то треугольник ABC равнобедренный, поэтому у него высота, проведенная из вершины A, является медианой, биссектрисой и высотой. Таким образом, мы получим, что AC = 2R, а BC = R.

Теперь найдем площадь треугольника ABC через стороны и высоту, проведенную из вершины A: S(ABC) = 0.5 AB AC = 20. Подставляя известные значения, получаем: AB * 2R = 40, AB = 40 / 2R. Так как AB = 3R, то 3R = 40 / 2R, 6R^2 = 40, R^2 = 40 / 6, R = sqrt(20 / 3).

Площадь треугольника BCD равна S(BCD) = 0.5 BC CD = 0.5 a b. Так как мы знаем, что AC = 2R, то CD = 2R - a. Теперь найдем отношение площадей треугольников ABC и BCD: S(ABC) / S(BCD) = a (2R - a) / 40 = 20 / S(BCD), a (2sqrt(20 / 3) - a) = 80. Найдем значение a из полученного уравнения: a^2 - 2sqrt(20 / 3) * a + 80 = 0, a = sqrt(20), a = 4sqrt(5).

Теперь найдем значение b: AB / BP = AC / CP, 3R / 4sqrt(5) = 2R / (2R - 4sqrt(5)), 3 = 2 / (1 - 2 / sqrt(5)), 3 = 2 sqrt(5) / (sqrt(5) - 2). 3 (sqrt(5) - 2) = 2 sqrt(5), 3sqrt(5) - 6 = 2 sqrt(5). 6 = sqrt(5) * (3 + 2), b = 6.

Итак, S(BCD) = 0.5 4sqrt(5) 6 = 12sqrt(5).