Контрольная работа № 1 по теме «Решение треугольников» Вариант 1 Контрольная работа № 1 по теме «Решение треугольников»
Вариант 1
1. Две стороны треугольника равны 6 см и 8 см, а угол между ними — 60°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь.
2. В треугольнике ABC известно, что AB = 3 см, ∠C = 45°, ∠A = 120°. Найдите сторону BC треугольника.
3. Определите, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник со сторонами 7с м, 10 см и 13 см.
4. Одна сторона треугольника на 8 см больше другой, а угол между ними равен 120°. Найдите периметр треугольника, если его третья сторона равна 28 см.
5. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 13 см, 20 см и 21 см.
6. Две стороны треугольника равны 6 см и 8 см, а медиана, проведённая к третьей стороне, — см. Найдите неизвестную сторону треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения третьей стороны треугольника воспользуемся теоремой косинусов:
c² = a² + b² - 2ab*cosC,
где c - третья сторона, a и b - известные стороны, C - угол между известными сторонами.

c² = 6² + 8² - 268cos60°,
c² = 36 + 64 - 960.5,
c² = 100 - 48,
c² = 52,
c = √52 ≈ 7.21 см.

Теперь найдем площадь треугольника через полупериметр:
p = (6 + 8 + 7.21) / 2 = 10.6 см,
S = √(p(p-6)(p-8)(p-7.21)) = √(10.64.62.63.39) ≈ 19.73 см².

Сначала найдем угол B:
∠B = 180° - 120° - 45° = 15°.
Теперь можем найти сторону BC, используя теорему синусов:
BC/sin∠B = AB/sin∠C,
BC/sin15° = 3/sin45°,
BC = 3*sin15°/sin45° ≈ 1.32 см.

Треугольник со сторонами 7 см, 10 см и 13 см является прямоугольным, так как 13² = 7² + 10².

Пусть одна сторона треугольника равна x см, тогда вторая сторона равна x+8 см. Используем теорему косинусов:
(28)² = x² + (x+8)² - 2x(x+8)*cos120°,
784 = x² + x² + 16x + 64 - 2x² - 16x,
784 = -x² + x² + 64,
784 = 64,
x = 8.

Таким образом, стороны треугольника равны 8 см, 16 см и 28 см, периметр равен 8+16+28=52 см.

Радиус описанной окружности равен половине произведения сторон треугольника на радиус окружности, вписанной в него.
R = (abc)/(4*S),
где a, b, c - стороны треугольника, S - площадь треугольника.

R = (132021)/(4*19.73) ≈ 10.52 см.

Для нахождения третьей стороны треугольника воспользуемся теоремой Пифагора для медианы:
c² = (a² + b²) / 2 - (m/2)²,
где a и b - известные стороны, с - третья сторона, m - медиана.

c² = (6² + 8²) / 2 - (m/2)²,
c² = (36 + 64) / 2 - (m/2)²,
c² = 50 - (m/2)².

Так как медиана m = 5 см, то
c² = 50 - (5/2)²,
c² = 50 - 6.25,
c² = 43.75,
c = √43.75 ≈ 6.61 см.

Итак, третья сторона треугольника равна примерно 6.61 см.