Нужна помощь с комбинаторикой Каким количеством способов можно рассадить вокруг круглого стола 5 мужчин и 5 женщин так, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом? (Рассадки, получаемые одна из другой поворотом вокруг стола, считать одинаковыми.)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи воспользуемся принципом включений-исключений.

Пусть у нас есть круглый стол с 10 местами. Рассадим первого мужчину на любое из этих мест (10 способов). Далее, по условию, на оставшиеся 9 мест мы можем посадить только женщин. Рассадить 5 женщин на 9 мест можно $9P5 = \frac{9!}{(9-5)!} = 15120$ способами.

Однако, у нас могут возникнуть ситуации, когда два мужчины сидят рядом. Рассмотрим такие ситуации:

Мужчина 1 сидит рядом с мужчиной 2. Есть 5 возможных пар мужчин, которые могут сесть рядом. После этого остается 8 мест, на которые можно посадить 5 женщин $8P5 = \frac{8!}{(8-5)!} = 6720$ способами.Мужчина 1 сидит рядом с мужчиной 10 (так как стол круглый). Это еще 5 пар мужчин. Для каждой пары мы можем посадить 5 женщин на 8 мест $8P5 = 6720$ способами.

Таким образом, общее количество способов будет равно:
$10P5 - 5 \cdot 8P5 + 5 \cdot 8P5 = 15120 - 2 \cdot 6720 = 1680$ способов.

Ответ: 1680 способов.