Задачи олимпиадного уровня по математике На дороге через равные промежутки расположены пункты A , B , C , D , E и F . Вася хочет доставить посылку из пункта A в пункт F и вернуться обратно. Петя хочет доставить посылку из пункта F в пункт A и вернуться обратно. Они стартовали одновременно и в первый раз встретились в пункте C . Скорости обоих постоянны. В каком пункте произойдёт их вторая встреча? Укажите латинскую (английскую) букву.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Дано, что пункты расположены на дороге через равные промежутки. Обозначим расстояние между соседними пунктами как (d). Таким образом:

Расстояние от A до F: (5d) (A → B → C → D → E → F)От F до A: также (5d)

Пусть скорость Васи (v_1), скорость Пети (v_2). Они оба одновременно стартуют в пунктах A и F соответственно и встретились в пункте C.

На момент первой встречи в пункте C каждый из них преодолел определенное расстояние:

Вася от A до C: (2d)Петя от F до C: (3d)

Так как они стартовали одновременно, время (t_1) до первой встречи можно записать как:

[
t_1 = \frac{2d}{v_1} = \frac{3d}{v_2}
]

Отсюда можем выразить соотношение между скоростями:

[
\frac{v_1}{v_2} = \frac{2}{3}
]

Теперь учтем, что, после первой встречи в C, Вася продолжает двигаться в направлении F, а Петя — в направлении A. Обозначим время от первой встречи до второй встречи как (t_2).

Пусть расстояние, которое Вася пройдет после первой встречи до второй встречи, будет (x), а расстояние, которое пройдет Петя, будет (y). За время (t_2) каждый из них пройдет:

[
t_2 = \frac{x}{v_1} = \frac{y}{v_2}
]

При этом они все еще должны встретиться в какой-то точке. Надо учесть, что расстояние от C до F равно (3d), а от C до A равно (2d).

Таким образом, Вася пройдет от C (3d) до F и вернется обратно, а Петя пройдет от F до C и дальше направится к A в поисках встречи.

Поскольку после первой встречи они движутся навстречу друг другу, расстояние между ними сокращается с учетом их скоростей:

Если за время (t_2) Вася проходит (3d + d) (он идет от C к F и возвращается до точки (d) от F), а Петя пройдет (5d) (он идет от F до A) и в конечном итоге достигнет точки A, то можно установить, что они встретятся в пункте D.

Это можно проверить:

Вася проходит расстояние от C до F (3d) и потом (d) обратно, то есть 4d.Петя за это время должен пройти (5d) и после точки C (2d) он ориентируется к A.

Таким образом, вторая встреча происходит в пункте D.

Ответ: D.