Найдите периметр четырехугольника, полученного при пересечении тетраэдра плоскостью MNP. В тетраэдре ABCD точки М, N и Р являются серединами ребер АВ, ВС и CD, АС=10 см, BD= 12 см. Докажите, что плоскость MNP проходит через середину К ребра AD, и найдите периметр четырехугольника, полученного при пересечении тетраэдра плоскостью MNP.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала докажем, что плоскость MNP проходит через середину К ребра AD.
Пусть К - середина ребра AD, тогда КМ = МА и КН = НD.
Поскольку М, N и Р являются серединами соответствующих сторон тетраэдра ABCD, то М, N и Р делят стороны на равные отрезки: AM=MB, BN=NC, CD=D.
Следовательно, KM=MA=MB = 1/2AC = 1/210 = 5 см и KN=ND=BD/2 = 12/2 =6 см.
Таким образом, плоскость MNP проходит через середину К ребра AD.

Теперь найдем периметр четырехугольника, образованного пересечением плоскостью MNP.
Так как М, N и Р делят соответствующие стороны на равные отрезки, то MN=NR=RP, а также MK=KN=NP.
Таким образом, четырехугольник MNRK является параллелограммом, в котором противоположные стороны равны, то есть MN=NR=RP=MK=KN=NP.
Тогда периметр четырехугольника MNRK равен 2(MN+NR)=2(MN+MK)=2(MN+NP)=210=20 см.

Таким образом, периметр четырехугольника, образованного при пересечении тетраэдра плоскостью MNP, равен 20 см.