Точки М и N — середины ребер АВ и АС тетраэдра ABCD. Докажите, что прямая MN параллельна плоскости BCD.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку точка М — середина ребра AB, то М расположена на отрезке, соединяющем точки A и В. Точно так же, так как точка N — середина ребра AC, то N также находится на отрезке, соединяющем точки A и С.

Теперь представим, что прямая МN не параллельна плоскости BCD. Это означает, что прямая МN пересекает плоскость BCD. Проведем прямую MN до тех пор, пока она не пересечет плоскость BCD. Обозначим точку пересечения прямой MN с плоскостью BCD как P.

Так как М и N лежат на отрезке AB и AC соответственно, то прямая MN также лежит на плоскости ABC. Таким образом, точка P лежит на плоскости ABC.

Теперь, так как точка P лежит на плоскости ABC и на плоскости BCD, то эти две плоскости пересекаются. Но плоскости ABC и BCD параллельны, поскольку они являются боковыми гранями тетраэдра ABCD. Противоречие!

Следовательно, предположение о том, что прямая МN не параллельна плоскости BCD, неверно. Отсюда следует, что прямая MN параллельна плоскости BCD.