Пользуясь понятием скалярного произведения двух векторов, докажите что в любом треугольнике квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними (теорема косинусов)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть у нас есть треугольник ABC с сторонами a, b и c, где a и b образуют угол с вершиной C.

Рассмотрим векторы v и w, где v - это вектор, соединяющий вершины A и C, а w - это вектор, соединяющий вершины B и C. Тогда скалярное произведение этих векторов равно v w = |v| |w| * cos(угол C).

Так как векторы v и w представляют собой стороны треугольника ABC, то длины этих векторов равны сторонам треугольника: |v| = a, |w| = b.

Таким образом, скалярное произведение векторов v и w можно записать в виде a b cos(угол C).

Теперь рассмотрим квадрат длины стороны c: c^2 = (v + w)^2 = v^2 + w^2 + 2v * w.

Так как v^2 = |v|^2 = a^2 и w^2 = |w|^2 = b^2, мы можем выразить квадрат стороны c через скалярное произведение и угол между сторонами a и b:

c^2 = a^2 + b^2 + 2ab * cos(угол C).

Таким образом, мы доказали теорему косинусов для треугольника ABC, что квадрат длины третьей стороны равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.