Найдите первообразную для следующих функций, проходящих через точку M: 1) f(x)=7-6x^2+12x^3, M(2; -25);
2) f(x)=1/sin^2 x, M (3П/4;-5).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Для функции f(x)=7-6x^2+12x^3 и точки M(2; -25) первообразная будет найдена методом интегрирования.
Так как первообразная функции f(x) - это функция F(x), такая что F'(x) = f(x), то нужно проинтегрировать функцию f(x) по x:

F(x)=∫(7-6x^2+12x^3)dx = 7x - 2x^3 + 3x^4 + C,

где C - произвольная постоянная.
Теперь, подставим координаты точки M в первообразную F(x) для нахождения постоянной C:

-25 = 72 - 22^3 + 3*2^4 + C
-25 = 14 - 16 + 48 + C
-25 = 46 + C
C = -71

Итак, первообразная функции f(x)=7-6x^2+12x^3, проходящая через точку M(2; -25), будет F(x) = 7x - 2x^3 + 3x^4 - 71.

2) Для функции f(x)=1/sin^2 x и точки M(3П/4; -5), сначала выполним частное интегрирование:

F(x) = ∫(1/sin^2 x)dx = -cot x + C,

где C - произвольная постоянная.
Затем, подставим координаты точки M в первообразную F(x) для нахождения постоянной C:

-5 = -cot(3П/4) + C

cot(3П/4) = -1,
-5 = -(-1) + C
-5 = 1 + C
C = -6

Итак, первообразная функции f(x)=1/sin^2 x, проходящая через точку M(3П/4; -5), будет F(x) = -cot x - 6.