Составить систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными, если известно, что она имеет единственное решение x = −2; y = 4; z = −3. Решить получившуюся систему уравнений методом последовательных исключений Жордана-Гаусса.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Система уравнений:

1) 2x - y + z = 1
2) 3x + 2y - 2z = 8
3) x + 3z = -9

Подставим известные значения x, y, z:

1) 2*(-2) - 4 + (-3) = 1
-4 - 4 - 3 = 1
-8 - 3 = 1
-11 = 1 (не верно)

2) 3(-2) + 24 - 2*(-3) = 8
-6 + 8 + 6 = 8
8 = 8 (верно)

3) -2 + 3*(-3) = -9
-2 - 9 = -9
-11 = -9 (не верно)

Получается что изначально заданные значения не удовлетворяют всей системе уравнений.

Решим систему методом Гаусса:

Для удобства преобразуем систему уравнений к виду матрицы:

2 -1 1 | 1
3 2 -2 | 8
1 0 3 | -9

Проведем необходимые операции над строками для приведения матрицы к ступенчатому виду:

1) Р1*1/2 -> Р1
1 -1/2 1/2 | 1/2
3 2 -2 | 8
1 0 3 | -9

2) Р2 - 3*Р1 -> Р2
1 -1/2 1/2 | 1/2
0 7/2 -7/2 | 22/2
1 0 3 | -9

3) Р3 - Р1 -> Р3
1 -1/2 1/2 | 1/2
0 7/2 -7/2 | 22/2
0 1 5/2 | -19/2

4) Р1 + 1/2*Р2 -> Р1
1 0 0 | -9
0 7/2 -7/2 | 22/2
0 1 5/2 | -19/2

5) Р2 - 7/2*Р3 -> Р2
1 0 0 | -9
0 0 -7 | 22
0 1 5/2 | -19/2

6) Р2*(-1/7) -> Р2
1 0 0 | -9
0 0 1 | -22/7
0 1 5/2 | -19/2

7) Р3 - 5/2*Р2 -> Р3
1 0 0 | -9
0 0 1 | -22/7
0 1 0 | -19/2 + 55/14 = -41/14

Получаем систему уравнений:

x = -9
y = -41/14
z = -22/7

Проверим полученное решение подставив его в исходную систему:

1) 2*(-9) - (-41/14) + (-22/7) = 1
-18 + 41/14 - 22/7 = 1
-18 + 82/28 - 44/28 = 1
-504/28 + 82/28 - 44/28 = 1
(82 - 504 - 44)/28 = 1
-466/28 = 1
-233/14 = 1 (не верно)

2) 3(-9) + 2(-41/14) - 2*(-22/7) = 8
-27 - 82/14 + 44/7 = 8
-27 - 164/14 + 88/14 = 8
-378/14 - 164/14 + 88/14 = 8
(-378 - 164 + 88)/14 = 8
-454/14 = 8
-227/7 = 8 (не верно)

3) -9 + 3*(-22/7) = -9
-9 + 66/7 = -9
-63/7 + 66/7 = -9
3/7 = -9 (не верно)

Таким образом, решение системы x = -9, y = -41/14, z = -22/7 не верно.