Задача по цилиндру В цилиндре проведена плоскость, параллельная его оси, которая отсекает от окружности основания дугу в 60°. Диагональ полученного сечения составляет с осью цилиндра угол в 30° и удалена от нее на расстояние, равное 1. Найдите объем цилиндра.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть r - радиус цилиндра, h - его высота. Тогда длина диагонали сечения цилиндра равна 2r (поскольку диагональ - это диаметр окружности сечения), а расстояние от диагонали до оси цилиндра равно 1.

Из условия задачи угол между диагональю и осью цилиндра составляет 30°. Поскольку расстояние от диагонали до оси цилиндра равно 1, то в правильном треугольнике, катетом которого является расстояние от диагонали до оси цилиндра, а угол между гипотенузой и одним из катетов равен 30°, отношение гипотенузы к этому катету равно $2/\sqrt{3}$.

Таким образом, имеем $\dfrac{2}{\sqrt{3}} = \dfrac{2r}{1}$, откуда $r = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$.

Объем цилиндра равен $V = S_{\text{осн}} \cdot h = \pi r^{2} \cdot h = \pi \cdot (\dfrac{\sqrt{3}}{3})^{2} \cdot h = \dfrac{\pi}{3}\cdot h$.

Поскольку 60° - это 1/6 оборота, то угол полного цилиндра равен 360°, из чего следует, что
$\dfrac{\alpha}{360^\circ} = \dfrac{1}{6}$, где α – угол сектора в градусах.

Отсюда находим, что $\alpha = 60 \cdot 6 = 360$°. Этот угол является углом, под которым видна окружность сечения из точки пересечения плоскости с осью цилиндра. Но он равен углу сечения цилиндра, через который остаются видны его основания.

Итак, угол сечения цилиндра равен $\alpha = 360$°.

Таким образом, объем цилиндра равен $V = \pi \cdot r^2 \cdot h = \pi \cdot (\dfrac{\sqrt{3}}{3})^2 \cdot h = \dfrac{\pi}{3} \cdot h$.