Отрезок с концами на простых числах На числовой оси дано исходное натуральное (т. е. целое, положительное) число, большее 3. От него, как от центра, в обе стороны оси с одинаковой скоростью движутся маркеры. Доказать, что в некий момент времени маркеры попадут на простые числа (т. е. исходное число окажется серединой отрезка, концами которого являются простые числа)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что при движении от исходного числа в любую сторону, мы обязательно встретим хотя бы одно простое число. Это следует из того, что между любыми двумя натуральными числами всегда найдется простое число (это утверждение следует из теоремы о бесконечности множества простых чисел).

Теперь рассмотрим два случая:
1) Исходное число является простым. В этом случае мы сразу же получаем отрезок с концами на простых числах.
2) Исходное число не является простым. Пусть ближайшее к нему простое число слева и справа находятся на расстоянии k1 и k2 от исходного числа соответственно. Тогда мы можем двигаться в одну из сторон, пока не достигнем ближайшего простого числа. Пусть это произойдет справа, тогда наше новое число будет состоять из исходного числа и k2, которое является простым. Таким образом, мы получаем отрезок с концами на простых числах.

Таким образом, в любом случае мы придем к отрезку с концами на простых числах, и маркеры обязательно попадут на простые числа в некий момент времени.