Математика комбинаторика 10-11 колледж Рассмотрим всевозможные 24-значные натуральные числа, в десятичной записи которых встречаются только цифры 6,8. Сколько среди них делятся на 3 нацело?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы число делилось на 3, сумма всех его цифр должна быть кратна 3.
Поскольку в числе 24 цифры, их сумма не может быть 25 (так как это не кратно 3), значит сумма цифр будет либо 24, либо 21.

Сумма всех цифр равна 24:
Так как в числе только цифры 6 и 8, то чтобы сумма была равна 24, количество цифр 8 должно быть кратно 3 (24=3*8).
Таким образом, среди 24 цифр число может быть составлено ${24 \choose 8}$ способами.

Сумма всех цифр равна 21:
Поскольку сумма цифр равна 21, количество цифр 6 и 8 в числе может быть (6,15) или (9,12).
– Количество вариантов с (6,15): ${24 \choose 15}$
– Количество вариантов с (9,12): ${24 \choose 12}$

Итак, общее количество чисел, которые делятся на 3 нацело, равно ${24 \choose 8} + {24 \choose 15} + {24 \choose 12}$.
Для точного вычисления этого выражения, необходимо воспользоваться формулой ${n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Полученное число будет являться ответом.