Палку разломили в случайном месте, потом взяли большую часть и тоже разломили в случайном месте. Какова вероятность, что из них можно составить треугольник?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы из трех частей можно было составить треугольник, необходимо, чтобы сумма двух из них была больше третьей.

Пусть общая длина палки равна 1. Первую часть разломили на участок длиной x (0 < x < 1), вторую часть разломили на участок длиной y (0 < y < 1), где x + y < 1.

Тогда условие, при котором можно составить треугольник, будет выглядеть следующим образом: x + y > 1/2 и x + 1 - x > y и y > 1 - x - y
Т.е. x + y > 1/2, y > 1/2, x < 1/2

Последнее условие включает в себя условие, при котором палку можно будет сложить в треугольник, т.е. равнобедренный треугольник.

Вероятность, что палку можно сложить в треугольник, равна отношению площади треугольника, образованного точками на отрезке 0 < x < 0.5, 0 < y < 0.5, x+y > 0.5, к площади прямоугольника 1x1.
Площадь треугольника можно найти с помощью интеграла: ∫(0.5;0.5-x) (1-2x-y)dydx = 1/6, что равно отношению вероятности к 1

Следовательно, вероятность, что можно сложить треугольник из двух частей, разломанных отрезко в случайном месте, равна 1/6.