Решение задачи по математике Шар свободно скатывается по наклонной плоскости. Если горизонтальное осно-вание наклонной плоскости остается неизменным, то каков должен быть угол наклона, чтобы время скатывания шара было наименьшим?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи определим уравнение времени скатывания шара по наклонной плоскости.

Пусть угол наклона наклонной плоскости равен α, а высота, на которую спускается шар, равна h.

Сила тяжести разлагается на две составляющие: вертикальную F_v = mgcosα и горизонтальную F_h = mgsinα.

Ускорение шара на наклонной плоскости будет равно a = gsinα.

Уравнение пути шара по наклонной плоскости можно записать в виде:
h = 1/2 a t^2
h = 1/2 gsinα t^2

Решив это уравнение относительно времени t, получим:
t = sqrt(2h/(gsinα))

Чтобы найти минимальное время t скатывания шара, необходимо найти угол наклона α, при котором производная времени по углу будет равна нулю:

dt/dα = 0

Дифференцируем уравнение времени по углу α и приравниваем к нулю:
0 = -1/2 g h cosα (gsinα)^(-3/2)

cosα * (gsinα)^(-3/2) = 0
cosα = 0
α = π/2

Следовательно, для нахождения минимального времени скатывания шара наклон плоскости должен составлять 90 градусов или π/2 радиан.