Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=2√x-x на отрезке (0;4).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции y = 2√x - x на отрезке (0;4) нужно сначала найти экстремумы функции в этом интервале.

Найдем производную функции y по x:
y' = d(2√x - x)/dx = 2(1/2x^(1/2)) - 1 = x^(-1/2) - 1.

Найдем точку, в которой производная равна нулю:
x^(-1/2) - 1 = 0,
x^(-1/2) = 1,
1/√x = 1,
√x = 1,
x = 1.

Проверяем, является ли точка x = 1 точкой экстремума или точкой перегиба:
y'' = d^2(2√x - x)/dx^2 = d(x^(-1/2) - 1)/dx = (-1/2)x^(-3/2).
y''(1) = (-1/2)*1^(-3/2) = -1/2 < 0. Точка x = 1 является точкой максимума функции.

Найдем значения функции в концах интервала (0;4):
y(0) = 2√0 - 0 = 0,
y(4) = 2√4 - 4 = 2*2 - 4 = 4.

Итак, наименьшее значение функции на отрезке (0;4) равно 0, а наибольшее значение равно 4.