Уравнение x^2+ax+b=0 имеет два различных действительных корня докажите что уравнение x^4+ax^3+(b-2)x^2-ax+1=0 имеет четыре различных действительных корня

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть у уравнения x^2 + ax + b = 0 корни равны x1 и x2.

Тогда по теореме Виета:
x1 + x2 = -a
x1 * x2 = b

Теперь рассмотрим уравнение x^4 + ax^3 + (b-2)x^2 - ax + 1 = 0.

Заметим, что если подставить x1 и x2 в это уравнение, оно превратится в две квадратные уравнения:
x1^2 + ax1 + b = 0
x2^2 + ax2 + b = 0

Таким образом, корни x1 и x2 также будут корнями уравнения x^4 + ax^3 + (b-2)x^2 - ax + 1 = 0.

Так как исходное уравнение имеет два различных действительных корня, то уравнение x^4 + ax^3 + (b-2)x^2 - ax + 1 = 0 будет иметь четыре различных действительных корня, так как к этим корням добавятся еще два корня, которые могут быть найдены как корни других квадратных уравнений.