При каких ограничениях на целые числа p и q многочлен P(x)=x^3+px+q принимает при всех целых значениях x значения, делящиеся на 3?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Многочлен P(x) принимает значения, делящиеся на 3 при всех целых значениях x, если его коэффициенты p и q таковы, что P(x) делится на x-1, x и x+1 для всех целых x.

Многочлен P(x) делится на x-1, x и x+1, если его значения в точках x=1, 0 и -1 делятся на 3. Подставляя x=1, получаем:
P(1) = 1 + p + q

Подставляя x=0, получаем:
P(0) = q

Подставляя x=-1, получаем:
P(-1) = -1 - p + q

Для того чтобы P(x) делался на x-1, x и x+1 для всех целых x, значения P(1), P(0) и P(-1) должны делиться на 3.

Это означает, что p и q должны быть такими, что:
(1 + p + q) % 3 = 0
q % 3 = 0
(-1 - p + q) % 3 = 0

Из этих уравнений можно найти ограничения на значения p и q, при которых многочлен P(x) принимает значения, делящиеся на 3 при всех целых значениях x.