Существуют ли два квадратных трехчлена ax^2+bx+c и (a+1)x^2+(b+1)x+(c+1) с целыми коэффициентами каждый из которых имеет по два целых корня

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Нет, таких квадратных трехчленов с целыми корнями не существует.

Если квадратное уравнение имеет два целых корня, то его дискриминант должен быть полным квадратом. Дискриминант квадратного трехчлена ax^2 + bx + c равен b^2 - 4ac.

Пусть у нас есть два квадратных трехчлена ax^2 + bx + c и (a+1)x^2 + (b+1)x + (c+1), которые имеют по два целых корня. Тогда дискриминанты обоих уравнений должны быть полными квадратами.

Дискриминант первого квадратного трехчлена равен b^2 - 4ac, а дискриминант второго квадратного трехчлена равен (b+1)^2 - 4(a+1)(c+1).

Если оба дискриминанта должны быть полными квадратами, то b^2 и (b+1)^2 должны быть квадратами целых чисел. Однако разницей между двумя квадратами целых чисел является натуральное число, и поэтому b^2 и (b+1)^2 не могут быть квадратами одновременно.

Таким образом, нет двух квадратных трехчленов с целыми коэффициентами, каждый из которых имеет по два целых корня.