Пусть P(x)- квадратный трехчлен с неотрицательными коэффициентами, докажите что для любых действительных чисел x и y справедливо неравенство (P(xy))^2<=P(x^2)*P(y^2)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доказательство:

Пусть P(x) = ax^2 + bx + c, где a, b и c - неотрицательные коэффициенты.

Тогда P(xy) = a(x^2)(y^2) + bxy + c.

Тогда (P(xy))^2 = [a(x^2)(y^2) + bxy + c]^2 = a^2(x^2)^2(y^2)^2 + 2ab(x^2)(y^2) + 2ac(x^2)(y^2) + b^2(xy)^2 + 2bcxy + c^2.

Посчитаем P(x^2)P(y^2):

P(x^2) = ax^4 + bx^2 + c
P(y^2) = ay^4 + by^2 + c

Тогда P(x^2)P(y^2) = (ax^4 + bx^2 + c)(ay^4 + by^2 + c) = a^2(x^4)(y^4) + ab(x^4)y^2 + ac(x^4) + a bx^2(y^4) + b^2(x^2)y^2 + bcx^2 + cay^4 + bcy^2 + c^2.

Теперь заметим, что мы можем выделить факторы в обеих частях:

(P(xy))^2 - P(x^2)P(y^2) = (a^2(x^2)^2(y^2)^2 + 2ab(x^2)(y^2) + 2ac(x^2)(y^2) + b^2(xy)^2 + 2bcxy + c^2) - (a^2(x^4)(y^4) + ab(x^4)y^2 + ac(x^4) + a bx^2(y^4) + b^2(x^2)y^2 + bcx^2 + cay^4 + bcy^2 + c^2)

= a^2(x^2)^2(y^2)^2 + 2ab(x^2)(y^2) + 2ac(x^2)(y^2) + b^2(xy)^2 + 2bcxy + c^2 - (a^2(x^4)(y^4) + ab(x^4)y^2 + ac(x^4) + a bx^2(y^4) + b^2(x^2)y^2 + bcx^2 + cay^4 + bcy^2 + c^2)

= ab(x^2)(y^2) + ab(x^4)y^2 + ac(x^2)(y^2) + a x^2(y^4) + b^2(xy)^2 + bcxy + 2bcxy + bcx^2 - b^2(x^2)y^2 - cay^4 - bcy^2

= ab(x^2)(y^2) + ab(x^4)y^2 + ac(x^2)(y^2) + a x^2(y^4) + b^2(xy)^2 + 2bcxy + bcx^2 - b^2(x^2)y^2 - cay^4 - bcy^2

= ab(x^2)(y^2) + a x^2(y^4) + 2bcxy - cay^4

= ab(x^2)(y^2) + acx^2(y^2) + 2bcxy - cay^4

= ab(x^2)(y^2) + ac(x^2)(y^2) + 2bcxy - cay^4

= (ab + ac + 2bc - ca)x^2(y^2)

Таким образом, (P(xy))^2 - P(x^2)P(y^2) = (ab + ac + 2bc - ca)x^2(y^2).

Так как коэффициенты a, b и c неотрицательны, то ab, ac, bc и ca - также неотрицательны, а значит выражение (ab + ac + 2bc - ca) также является неотрицательным.

Следовательно, (P(xy))^2 <= P(x^2)P(y^2) для любых действительных чисел x и y.